Question

已知函数f(x)=

x3+2x-3 x-1 (x＞1) ax+1         (x≤1)

在点x=1处连续，则f^-1（3）=（　　）

• A、13
• B、1
• C、

  1

  2

• D、-

  1

  2

Answer 1

分析：根据x=1的左右极限和x=1时的函数值，结合函数在一点处的连续性的定义解出a的值，然后令f（x）=3，解方程即可，注意x的取值范围．

解答：解：由题意得：

lim

x→1

x3+2x-3

x-1

=

lim

x→1

(x2+x+3)=5，
又∵f（1）=a+1，
由函数在一点处的连续性的定义知f（1）=

lim

x→1

f(x)，
即a+1=5，
解得a=4．
令

x3+2x-3

x-1

=3，
解得x=0，x=1，x=-1，
∵x＞1，∴不符合题意，舍去．
令4x+1=3，解得x=

1

2

，满足x≤1．
故f-1(3)=

1

2

．
故选C．

点评：本小题考查分段函数的连续性以及反函数的函数值的求法，难度中等．函数f（x）在点x₀连续的充要条件是：函数f（x）在点x₀既是右连续，又是左连续．