Question

已知a，b∈R⁺，a+b=1
求证：ln(a+

1

a

)+ln(b+

1

b

)≥2ln5-2ln2．

Answer 1

分析：先证明ab≤

1

4

，再证明

2

ab

+ab-2≥

25

4

，最后两边取对数，即可得到结论．

解答：证明：∵a，b∈R⁺，a+b=1，∴ab≤(

a+b

2

)2=

1

4

（当且仅当a=b=

1

2

时，等号成立）
∵(a+

1

a

)(b+

1

b

)=ab+

1

ab

+

b

a

+

a

b

=

2

ab

+ab-2，ab≤

1

4

∴构造函数f（x）=

2

x

+x（x≤

1

4

）
∵x≤

1

4

，∴f′(x)=1-

2

x2

＜0
∴函数f（x）=

2

x

+x在（0，

1

4

]上单调递减
∴x=

1

4

时，函数取得最小值

33

4

 
∴f（x）≥

33

4

  
∴

2

ab

+ab-2≥

25

4

∴(a+

1

a

)(b+

1

b

)≥

25

4

∴ln(a+

1

a

)+ln(b+

1

b

)≥2ln5-2ln2．

点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查函数的单调性，属于中档题．