Question

已知函数y=f（x）的定义域为（-∞，-3）∪（3，+∞），且满足条件：4x²-9y²=36，其中xy＜0．若y=f（x）的反函数y=g（x）的图象上任意一点的切线的斜率为k，则k的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-3）∪（3，+∞）
• B、(-∞，-

  3

  2

  )
• C、(-

  3

  2

  ，+∞)
• D、(-

  3

  2

  ，0)

Answer 1

分析：由题意知此函数的图象是焦点在x轴上的双曲线图象的一部分，其反函数的图象是焦点在y轴上的双曲线的图象的一部分，根据双曲线的简单性质求出斜率的取值范围即可

解答：解：4x²-9y²=36，可变为

x2

9

-

y2

4

=1，xy＜0
即函数y=f（x）的定义域为（-∞，-3）∪（3，+∞），其图象为为

x2

9

-

y2

4

=1，xy＜0的图象
由反函数的性质知，函数y=f（x）的图象即双曲线

y2

9

-

x2

4

=1，xy＜0的图象的一部分
作出其图象，如图，双曲线的渐近线方程是y=-

9

4

x
由图可以得出此函数图象上各点的斜率k的取值范围是(-

3

2

，0)
故选D

点评：本题考查反函数，正确解题的关键是将函数的图象与双曲线的图象对应起来，把求反函数切线斜率范围的问题转化为双曲线部分图象上的斜率问题，结合渐近线方程，求出斜率的范围，本题考查了转化化归的思想，实属于难题了，利用数形结合的技巧，反函数的定义等，综合性知识性较强，题后应好好总结一下本题的转化思路、求解的方法．