Question

已知f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）又当 x₂＞x₁＞0时，f（x₂）＞f（x₁）
（1）求f（1），f（4），f（8）的值；
（2）若有f（2x-5）≤3成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（xy）=f（x）+f（y），通过赋值法即可求得f（1），f（4），f（8）的值；
（2）由“x₂＞x₁＞0时，f（x₂）＞f（x₁）”可知f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，从而f（2x-5）≤3=f（8）可脱去函数“外衣”，求得x的取值范围．

解答：解：（1）由f（xy）=f（x）+f（y）得：f（1•1）=f（1）+f（1）⇒f（1）=0；…2分

f(2•2)=f(2)+f(2) f(2)=1

⇒f（4）=2；…2分

f(2•4)=f(2)+f(4) f(2)=1 f(4)=2

⇒f（8）=3；…2分
（2）由“x₂＞x₁＞0时，f（x₂）＞f（x₁）”得f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数；…2分
∴

f(2x-5)≤3 f(8)=3

⇒f（2x-5）≤f（8）⇒

2x-5≤8 2x-5＞0

⇒

5

2

＜x≤

13

2

…2分

点评：本题考查抽象函数及其应用，考查函数单调性的性质及函数求值，（2）中判断函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数是关键，属于中档题．