Question

【题目】已知数列{an}前n项和Sn满足：2Sn+an=1
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn= ，数列{bn}的前n项和为Tn ， 求证：Tn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵2Sn+an=1，

∴当n≥2时，2Sn﹣1+an﹣1=1，

∴2an+an﹣an﹣1=0，化为 ．

当n=1时，2a1+a1=1，∴a1= ．

∴数列{an}是等比数列，首项与公比都为 ．

∴ ．

（2）证明：bn=

=

=

= ，

∴数列{bn}的前n项和为Tn= + +…+

= ．

∴Tn＜ ．

【解析】（1）利用递推式可得： ．再利用等比数列的通项公式即可得出；（2）由（1）可得bn= = ，；利用“裂项求和”即可得出数列{bn}的前n项和为Tn ， 进而得到证明．
【考点精析】利用数列的前n项和和数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．