Question

（2013•广州一模）已知函数f(x)=Asin(ωx+

π

4

)（其中x∈R，A＞0，ω＞0）的最大值为2，最小正期为8．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）图象上的两点P，Q的横坐标依次为2，4，O为坐标原点，求cos∠POQ的值．

Answer 1

分析：（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，从而得到函数的解析式．
（2）根据条件求得P和 Q的坐标，|OP|、|PQ|、|OQ|的值，再利用余弦定理求得cos∠POQ．

解答：解：（1）由题意可得 A=2，T=

2π

ω

=8，解得ω=

π

4

，
故函数f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

）．
（2）∵函数f（x）图象上的两点P，Q的横坐标依次为2，4，O为坐标原点，
∵f（2）=2sin（

π

2

+

π

4

）=2cos

π

4

=

2

，f（4）=2sin（π+

π

4

）=-2sin

π

4

=-

2

，
∴P（2，

2

 ）、Q（4，-

2

），|OP|=

6

，|PQ|=2

3

，|OQ|=3

2

，
∴cos∠POQ=

OP2+OQ2-PQ2

2OP•OQ

=

( 6 )2+(3 2 )2-(2 3 )2

2 6 •3 2

=

3

3

．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，余弦定理的应用，属于中档题．