Question

已知M是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于双曲线的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q两点．若△PQM为锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为

(

5 +1

2

，

2 + 6

2

)

．

Answer 1

分析：设M的坐标为（c，y），则由题意y＞c＞

2

2

y，利用点在双曲线上，代入双曲线方程，化简可得结论．

解答：解：设M的坐标为（c，y），则由题意y＞c＞

2

2

y，∴y²＞c2＞

1

2

y2
∵

c2

a2

-

y2

b2

=1
∴y2=b2×(

c2

a2

-1)
∴c²＜b2×(

c2

a2

-1)＜2c2
∴c²＜(c2-a2)×(

c2

a2

-1)＜2c2
∴e²＜（e²-1）²＜2e²
∴

5 +1

2

＜e＜

2 + 6

2

故答案为(

5 +1

2

，

2 + 6

2

)．

点评：本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．