Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC=1，E、F分别是AB、PB的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥CD；
（Ⅱ）求二面角F-DE-B的大小；
（Ⅲ）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）（3）中证明线线垂直及线面垂直，可以综合线线、线面、面面垂直的性质及判定定理进行解答，也可利用三垂线定理进行解答
（2）求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．再利用解三角形的办法求解，对于本题，也可以建立空间坐标系，利用空间向量进行求解和证明．

解答：解法一：
证明：（Ⅰ）∵E、F分别是AB、PB的中点，
∴EF∥PA．
∵ABCD是正方形，
∴AD⊥CD．
又PD⊥底面ABCD，
∴AD是斜线PA在平面ABCD内的射影．
∴PA⊥CD．
∴EF⊥CD

（Ⅱ）连接AC交BD于O，过O作OK⊥DE于K，连接OF、FK．
∵O，F分别为BD，PB中点，
∴OF∥PD．
∵PD⊥底面ABCD，
∴OF⊥底面ABCD．
∴OK是斜线FK在平面ABCD内的射影．
∴FK⊥DE．
∴∠FKO是二面角F-DE-B的平面角
经计算得：OF=

1

2

，OK=

5

10

．
∴tan∠FKO=

OF

OK

=

5

．
即二面角F-DE-B的大小为arctan

5

（Ⅲ）取PC的中点H，连接DH．
∵PD=DC，
∴DH⊥PC．
又易证BC⊥平面PDC，
∴DH⊥BC．
又PC∩BC=C，
∴DH⊥平面PBC
取AD中点G，连接GF、FH．
∴FH∥BC∥DG，且FH=DG．
∴四边形DGFH为平行四边形．
∴DH∥GF．
∴GF⊥平面PCB．
即当G是AD的中点时，GF⊥平面PCB

解法二：
以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），
则D（0，0，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、C（0，1，0）、E(1，

1

2

，0)、F(

1

2

，

1

2

，

1

2

)、P（0，0，1）．
（Ⅰ）∵

EF

=(-

1

2

，0，

1

2

)，

DC

=(0，1，0)，
∴

EF

•

DC

=0．
∴EF⊥CD

（Ⅱ）∵PD⊥底面ABCD，
∴平面BDE的法向量为

DP

=(0，0，1)
设平面DEF的法向量为

n

=(x，y，z).
由

n • DF =0 n • DE =0

得

(x，y，z)•( 1 2 1 2 1 2 )=0 (x，y，z)•(1 1 2 ，0)=0

即

1 2 (x+y+z)=0 x+ 1 2 y=0.

令x=1，则y=-2，z=1．
∴

n

=(1，-2，1)
∴cos＜

n

，

DP

＞=

n • DP

| n || DP |

=

1

6

=

6

6

．
即二面角F-DE-B的大小为arccos

6

6

（Ⅲ）设G（m，0，n），则G∈平面PAD．
∴

FG

=(m-

1

2

，-

1

2

，n-

1

2

)．
由

FG

•

CB

=0，得m=

1

2

．由

FG

•

CP

=0，得n=0．
∴G点坐标为(

1

2

，0，0)，即G为AD中点时，GF⊥平面PCB

点评：线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．证明线面垂直的方法：证明一个面过另一个面的垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线与添加辅助线解决．求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．再利用解三角形的办法求解．对于本题，也可以建立空间坐标系，利用空间向量进行求解和证明．