Question

已知（x，y）是直线x+y=2k-1与圆x²+y²=k²+2k-3的交点，则xy的取值范围为[，]．

Answer 1

【答案】分析：先根据直线与圆相交，圆心到直线的距离小于等于半径，以及圆半径为正数，求出k的范围，再根据（x，y）是直线x+y=2k-1与圆x²+y²=k²+2k-3的交点，满足直线与圆方程，代入直线与圆方程，化简，求出用k表示的xy的式子，根据k的范围求xy的取值范围．
解答：解：∵直线x+y=2k-1与圆x²+y²=k²+2k-3
∴圆心（0.0）到直线的距离d=
解得
又∵圆x²+y²=k²+2k-3，∴k²+2k-3＞0
解得，k＜-3，或k＞1
∴k的取值范围为
∵（x，y）是直线x+y=2k-1与圆x²+y²=k²+2k-3的交点，
∴x+y=2k-1，①x²+y²=k²+2k-3②
①²-②，得，2xy=3k²-6k+4
当时，2xy=3k²-6k+4是k的增函数
∴当k=，xy有最小值为
当k=，xy有最大值为
∴xy的取值范围为[，]
故答案为：[，]
点评：本题主要考察了直线与圆相交位置关系的判断，做题时考虑要全面，不要丢情况．