题目内容
已知数列{an}满足：an+1=2an+2n+2，a1=2，
（1）求证数列{
}为等差数列；
（2）求数列{an}的前n项的和Sn；
（3）令
=
，Tn为数列{bn}的前n项的积，求证：Tn＞
．
（1）求证数列{
| an |
| 2n |
（2）求数列{an}的前n项的和Sn；
（3）令
| 1 |
| bn-1 |
| an |
| 2n |
| 2n+1 |
分析：（1）在等式an+1=2an+2n+2的两边同除以2n，利用等差数列的定义得到证明，
（2）利用对称数列的通项公式求出
，进一步求出数列{an}的通项公式．由于通项是一个等差数列与一个等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的前n项和．
（3））由于
=
=2n-1，可得bn=
．利用放缩法即可证得结论．
（2）利用对称数列的通项公式求出
| an |
| 2n |
（3））由于
| 1 |
| bn-1 |
| an |
| 2n |
| 2n |
| 2n-1 |
解答：解：（1）an+1=2an+2n+2⇒
=
+2，
∴{
}是公差为2，首项为
=1的等差数列
（2）由（1）知：
=2n-1，∴an=(2n-1)•2n，
故Sn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n①
①×2得：2Sn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)×2n+1②
②-①得：Sn=-2-23-24-…-2n+1+(2n-1)•2n+1
∴Sn=6+(2n-3)•2n+1
（3）∵
=
=2n-1
∴bn=
∵（2n）2＞（2n）2-1=（2n+1）（2n-1）
∴
＞
∴(
)2＞
•
=
∴bn=
＞
，
∴Tn=b1b1•…•bn＞
=
．
| an+1 |
| 2n+1 |
| an |
| 2n |
∴{
| an |
| 2n |
| a1 |
| 2 |
（2）由（1）知：
| an |
| 2n |
故Sn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n①
①×2得：2Sn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)×2n+1②
②-①得：Sn=-2-23-24-…-2n+1+(2n-1)•2n+1
∴Sn=6+(2n-3)•2n+1
（3）∵
| 1 |
| bn-1 |
| an |
| 2n |
∴bn=
| 2n |
| 2n-1 |
∵（2n）2＞（2n）2-1=（2n+1）（2n-1）
∴
| 2n |
| 2n-1 |
| 2n+1 |
| 2n |
∴(
| 2n |
| 2n-1 |
| 2n |
| 2n-1 |
| 2n+1 |
| 2n |
| 2n+1 |
| 2n-1 |
∴bn=
| 2n |
| 2n-1 |
|
∴Tn=b1b1•…•bn＞
|
| 2n+1 |
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列，求解数列的通项公式，错位相减求解数列的和是数列求和方法中的重点与难点，要注意掌握．求数列的前n项和，一般先求出数列的通项，然后选择合适的求和方法．常用的求和方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂相消法、分组法．
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