Question

（2012•上海二模）已知f（x）=log₂（4^x+1）+2kx  （x∈R）是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）若函数F（x）=f（x）-m的一个零点在区间（0，

1

2

）内，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得f（-x）=f（x），化简可得即log2

1

4x

-4kx=0，即-2x-4kx=0，由此求得 k的值．
（2）由以上可得 f（x）=log₂（4^x+1）-x，F（0）F（

1

2

）＜0，化简得（m-1）（m-log2

3

2

）＜0，由此求得实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=log₂（4^x+1）+2kx （x∈R）是偶函数，∴f（-x）=f（x），即 log₂（4^-x+1）-2kx=log₂（4^x+1）+2kx，
∴log2

4-x+1

4x+1

-4kx=0，即 log2

1+4x

(4 x+1)4x

-4kx=0，即log2

1

4x

-4kx=0，即-2x-4kx=0，
∴k=-

1

2

．
（2）由以上可得 f（x）=log₂（4^x+1）-x，若函数F（x）=f（x）-m=log₂（4^x+1）-x-m 的一个零点在区间（0，

1

2

）内，
则有 F（0）F（

1

2

）＜0，即 （1-m）×（log₂3-

1

2

-m）＜0，即 （m-1）（m-log2

3

2

）＜0，解得 1＜m＜log2

3

2

，
故实数m的取值范围为 （1，log2

3

2

）．

点评：本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，函数的奇偶性的定义，属于基础题．