题目内容

已知函数f（x）=asinxcosx+ $数学公式$ acos²x- $数学公式$ a+1（a＞0）的定义域为R，当 $数学公式$ 时，f（x）的最大值为2
（1）求a的值
（2）用五点法作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的图象
（3）写出该函数的单调递增区间及对称中心的坐标．

解：（1）f（x）=asinxcosx+ $\text{[math]}$ acos²x- $\text{[math]}$ a+1
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +1
= $\text{[math]}$
=a（sin2xcos $\text{[math]}$ +cos2xsin $\text{[math]}$ ）+1
=asin（2x+ $\text{[math]}$ ）+1
当 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
∴当 $\text{[math]}$ ，f（x）有最大值为 $\text{[math]}$ ，
又∵f（x）的最大值为2，∴ $\text{[math]}$ =2，
解得：a=2．
（2）由（1）知 $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$ 分别取0， $\text{[math]}$ ，π， $\text{[math]}$ ，2π，则对应的x与y的值如下表

x	- $\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	0	$\text{[math]}$	π	$\text{[math]}$	2π
y	1	3	-1	1	3

画出函数在区间[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]的图象如下图

（2） $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$ ，k∈Z
解得， $\text{[math]}$
∴函数的增区间为 $\text{[math]}$ ．
令 $\text{[math]}$ Z，解得x= $\text{[math]}$ ，k∈Z，
∴函数 $\text{[math]}$ 的对称中心的横坐标为 $\text{[math]}$ ，k∈Z，
又∵函数 $\text{[math]}$ 的图象是函数 $\text{[math]}$ 的图象向上平移一个单位长度得到的，
∴函数 $\text{[math]}$ 的对称中心的纵坐标为1．
∴对称中心坐标为（ $\text{[math]}$ ，1）k∈Z
分析：（1）先利用二倍角公式和辅助角公式把函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+h的形式，利用正弦函数的性质求出最大值，又因为已知函数的最大值为2，就可求出参数a的值．
（2）利用“五点法”作图，令 $\text{[math]}$ 分别取0， $\text{[math]}$ ，π， $\text{[math]}$ ，2π，求出对应的x与y的值，就可得到函数在一个周期内的五个关键点的坐标，画出见图．
（3）令 $\text{[math]}$ 属于正弦函数的增区间，解出x的范围即为函数f（x）的单调增区间．
令 $\text{[math]}$ =kπ，k∈Z，解得x的值为函数对称中心的横坐标，因为函数 $\text{[math]}$ 的图象是函数 $\text{[math]}$ 的图象向上平移一个单位长度得到的，所以函数 $\text{[math]}$ 的对称中心的纵坐标为1．就可得到函数 $\text{[math]}$ 的对称中心．
点评：本题主要考查应用三角函数的公式把三角函数化简为y=Asin（ωx+φ）+h的形式，再求图象与性质，属于三角函数的综合题．