Question

【题目】已知函数，，.

（1）当时，求的单调区间；

（2）设，若，为函数的两个不同极值点，证明：.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）求出原函数的导函数，可得时，若，，单调递增；若，求出导函数的零点，根据导函数与0的关系可得原函数的单调性；（2）根据导数先得在R上单调递增，原题转化为证，根据和进一步转化为证，再由，得到证明 ，设，，化为证明，设，利用导数证明即可．

解：（1），

若，，，单调递增.

若，由，解得，

且，，单调递减，

，，单调递增.

综上，当时，的单调递增区间为，

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2），

故在上单调递增，即证：，

也即证：，

又 ，

，

所以，为方程的两根，

即

即证，即，

而①-②得，

即证：，

不妨设，，

则证：变形得，

所以，，

设，

则，

∴在单调递增，

，

即结论成立.