Question

4．在直角平面坐标系中，二次函数f（x）过定点（-1，3），顶点坐标为（0，2）；正比例函数g（x）的图象恰为一、三象限的角平分线．若函数F（x）=af（x）-g（x），其中a为常实数．
（1）求函数F（x）；
（2）若a＞0，设F（x）在区间[1，2]上的最小值为G（a），求G（a）的表达式；
（3）在（2）的条件下，若G（a）＞m²-2tm-5对所有的a∈（0，+∞），t∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设函数的表达式为f（x）=a（x-0）²+2，代入定点，得出解析式；
（2）利用二次函数的性质求闭区间内的最小值：当对称轴不在区间内时，端点值离对称轴越近，值越小；当在区间内时，定点处 取得最小值．
（3）由（2）可得出G（a）的最小值为-2，转换-2tm+m²-3≤0对任意的t∈[-1，1]恒成立问题，利用一次函数性质可求答案．

解答 解：（1）设函数的表达式为f（x）=a（x-0）²+2
∵函数过定点（-1，3）
∴f（x）=x²+2…2分
g（x）=x…3分
∴F（x）=ax²-x+2a…4分
（2）$F（x）=a{（x-\frac{1}{2a}）^2}+2a-\frac{1}{4a}$为开口向上的抛物线
①$0＜a≤\frac{1}{4}$时，F（x）_min=F（2）=6a-2
②$a≥\frac{1}{2}$时，F（x）_min=F（1）=3a-1
③$\frac{1}{4}＜a＜\frac{1}{2}$时，$F{（x）_{min}}=F（\frac{1}{2a}）=2a-\frac{1}{4a}$
所以$G（a）=\left\{\begin{array}{l}3a-1，（a≥\frac{1}{2}）\\ 2a-\frac{1}{4a}，（\frac{1}{4}＜a＜\frac{1}{2}）\\ 6a-2，（0＜a≤\frac{1}{4}）\end{array}\right.$…9分
（3）由（2）得G（a）＞-2…11分
所以m²-2tm-5≤-2即-2tm+m²-3≤0对任意的t∈[-1，1]恒成立
所以2m+m²-3≤0且-2m+m²-3≤0…14分
所以-1≤m≤1…15分．

点评 考察了二次函数求法，二次函数闭区间最值求法和恒成立问题．