题目内容

14、若函数f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₂₀₀₁x²⁰⁰¹是奇函数，则a₀+a₂+a₄+…+a₂₀₀₀=

0

．

分析：利用奇函数的定义得到等式恒成立，化简恒成立的等式，得到系数和为0．

解答：解：∵f（x）为奇函数
∴f（-x）=-f（x）恒成立
∴a_0-a₁x+a₂x^2-a₃x³+…-a₂₀₀₁x²⁰⁰¹=-（a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₂₀₀₁x²⁰⁰¹）
∴a₀+a₂x²+…+2000x²⁰⁰⁰=0恒成立
所以a₀+a₂+a₄+…+a₂₀₀₀=0
故答案为0

点评：解决函数的奇偶性问题，常利用奇偶性的定义，得到恒成立的方程进行解决．

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给出以下五个命题：
①x，y∈R，若x²+y²=0，则x=0或y=0的否命题是假命题；
②函数y=3^x+3^-x（x＜0）的最小值为2；
③若函数f（x）=x³+ax²+2的图象关于点（1，0）对称，则a的值为-3；
④若f（x+2）+

=0，则函数y=f（x）是以4为周期的周期函数；
⑤若（1+x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，则a₀+a₁+2a₂+3a₃+…+10a₁₀=10×2⁹其中真命题的序号是

设f（x）是定义在D上的函数，若对D中的任意两数x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有f（

f(x2)，则称f（x）为定义在D上的C函数．
（Ⅰ）试判断函数f（x）=x²是否为定义域上的C函数，并说明理由；
（Ⅱ）若函数f（x）是R上的奇函数，试证明f（x）不是R上的C函数；
（Ⅲ）设f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数a∈[0，1]以及D中的任意两数x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有f（ax₁+（1-a）x₂）≤af（x₁）+（1-a）f（x₂），则称f（x）为定义在D 上的π函数．已知f（x）是R上的m函数．m是给定的正整数，设a_n=f（n），n=0，1，2，…m，且a₀=0，a_m=2m，记S_f=a₁+a₂+…+a_m．对于满足条件的任意函数f（x），试求S_f的最大值．

若函数f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₂₀₀₁x²⁰⁰¹是奇函数，则a₀+a₂+a₄+…+a₂₀₀₀=________．

若函数f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₂₀₀₁x²⁰⁰¹是奇函数，则a₀+a₂+a₄+…+a₂₀₀₀=______．