Question

已知函数f（x）=

1

2

ax2+2x，g（x）=lnx．
（1）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调减函数，求a的取值范围；
（2）是否存在实数a＞0，使得方程

g(x)

x

=f（x）-（2a+1）在区间（

1

e

，e）内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调减函数，则[1，+∞）为函数f（x）的减区间的子集，分a=0，a＞0，a＜0三种情况讨论即可；
（2））把方程

g(x)

x

=f′（x）-（2a+1）整理为

lnx

x

=ax+2-(2a+1)，即方程ax²+（1-2a）x-lnx=0，设H（x）=ax²+（1-2a）x-lnx（x＞0），则原问题等价于函数H（x）在区间（

1

e

，e）内有且只有两个零点．利用导数判断出函数H（x）的单调性、最小值，求出区间端点处的函数值，借助图象可得不等式组，解出即可；

解答：解：（1）①当a=0时，f（x）=2x在[1，+∞）上是单调增函数，不符合题意；
②当a＞0时，y=f（x）的对称轴方程为x=-

2

a

，y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，不符合题意；
③当a＜0时，函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调减函数，则-

2

a

≤1，解得a≤-2，
综上，a的取值范围是a≤-2；
（2）把方程

g(x)

x

=f′（x）-（2a+1）整理为

lnx

x

=ax+2-(2a+1)，即方程ax²+（1-2a）x-lnx=0，
设H（x）=ax²+（1-2a）x-lnx（x＞0），则原问题等价于函数H（x）在区间（

1

e

，e）内有且只有两个零点．
H′（x）=2ax+（1-2a）-

1

x

=

2ax2+(1-2a)x-1

x

=

(2ax+1)(x-1)

x

，令H′（x）=0，因为a＞0，解得x=1或x=-

1

2a

（舍），
当x∈（0，1）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数；当x∈（1，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数．
H（x）在（

1

e

，e）内有且只有两个不相等的零点，只需

H( 1 e )＞0 H(x)min＜0 H(e)＞0

，即

a e2 + 1-2a e +1= (1-2a)e+a+e2 e2 ＞0 H(1)=a+(1-2a)=1-a＜0 ae2+(1-2a)e-1=(e2-2e)a+(e-1)＞0

，
所以

a＜ e2+e 2e-1 a＞1 a＞ 1-e e2-2e

，解得1＜a＜

e2+e

2e-1

．
所以a的取值范围是（1，

e2+e

2e-1

）．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、方程根的个数问题，考查数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，考查学生对问题的分析解决能力，能力要求较高．