Question

设F₁、F₂分别为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，O为坐标原点，|F₁F₂|=2c以O为圆心，以c为半径的圆与双曲线的四个交点及F₁、F₂恰好构成正六边形的六个顶点．则双曲线的离心率e=

 

．

Answer 1

分析：由已知中，以O为圆心，以c为半径的圆与双曲线的四个交点及F₁、F₂恰好构成正六边形的六个顶点，我们易求出该正六边形的边长及不相邻两个顶点之间的距离，进而求出2a的值，代入离心率表达式e=

c

a

即可得到答案．

解答：解：∵以c为半径的圆与双曲线的四个交点及F₁、F₂恰好构成正六边形的六个顶点
∴该正六边形的边长为c，
则2a=（

3

-1）c
则双曲线的离心率e=

c

a

=

2c

2a

=

2c

( 3 -1)c

=

3

+1
故答案为：

3

+1

点评：本题考查的知识点是双曲线的简单性质，其中根据已知条件，计算出a值，是解答本题的关键．