Question

已知a，b，c为互不相等的正数．试比较ab(a＋b)＋bc(b＋c)＋ac(a＋c)与6abc的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：ab(a＋b)＋bc(b＋c)＋ac(a＋c)－6abc 　　＝a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2－6abc 　　＝(a2b＋bc2－2abc)＋(ab2＋ac2－2abc)＋(b2c＋a2c－2abc) 　　＝b(a2＋c2－2ac)＋a(b2＋c2－2bc)＋c(b2＋a2－2ab) 　　＝b(a－c)2＋a(b－c)2＋c(b－a)2． 　　∵a，b，c为互不相等的正数，∴上式＞0． 　　∴ab(a＋b)＋bc(b＋c)＋ac(a＋c)＞6abc． 　　解法二：． 　　＝ 　　 　　∵a2＋c2－2ac＝(a－c)2＞0(a≠c)， 　　∴(ac＞0)． 　　同理，可得． 　　∴上式＞16×(2＋2＋2)＝1． 　　∵6abc＞0， 　　∴ab(a＋b)＋bc(b＋c)＋ac(a＋c)＞6abc． 　　思路分析：要比较两式大小，可作差后与0比较大小，另考虑到本题两式均大于零，故也可考虑作商后与1比较大小．