Question

（本小题满分14分）
过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线作垂线，垂足分别为、。           
（Ⅰ）当时，求证：⊥；
（Ⅱ）记、 、的面积分别为、、，是否存在，使得对任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

解 依题意，可设直线MN的方程为，


则有
由   ，消去x可得                  
从而有                                            ①
于是                          ②
又由，可得        ③
（Ⅰ）如图1，当时，点即为抛物线的焦点，为其准线
此时 ①可得
证法1：
     
证法2：
                  
(Ⅱ)存在，使得对任意的，都有成立，证明如下：
证法1：记直线与x轴的交点为,则。于是有
                  

将①、②、③代入上式化简可得

上式恒成立，即对任意成立                 
证法2：如图2，连接,则由可得
,所以直线经过原点O，
同理可证直线也经过原点O
又设则