题目内容
如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥AD，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAB是等边三角形，求二面角B-AC-P的余弦．
分析：以AB中点O为坐标原点，以OB为x轴，过点O与AD平行的直线为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，根据条件求出平面PAC的一个法向量，又
是平面ABC的一个法向量，设二面角B-AC-P的大小为θ，利用夹角公式求出此角余弦值即可．
| OP |
解答：
解：建立如图的空间直角坐标系O-xyz，
则A（-1，0，0），B（1，0，0），
则P（0，0，
），C（1，2，0）
设
=（x，y，z）为平面PAC的一个法向量，
则
⊥
，
⊥
又
=(-1，0，-
) ，
=(1，2，-
)
∴
令z=1，得x=-
，y=
得
=(-
，
，1)
又
是平面ABC的一个法向量，设二面角B-AC-P的大小为θ，
则cosθ=cos＜n，
＞=
=
=
∴二面角P-AC-B的余弦为
解：建立如图的空间直角坐标系O-xyz，则A（-1，0，0），B（1，0，0），
则P（0，0，
| 3 |
设
| n |
则
| n |
| PA |
| n |
| PC |
又
| PA |
| 3 |
| PC |
| 3 |
∴
|
| 3 |
| 3 |
得
| n |
| 3 |
| 3 |
又
| OP |
则cosθ=cos＜n，
| OP |
n•
| ||
|n|•|
|
| ||||
|
| ||
| 7 |
∴二面角P-AC-B的余弦为
| ||
| 7 |
点评：本小题主要考查二面角及其平面角，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．
练习册系列答案
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