Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，短轴的一个端点为B（0，4），离心率．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），在椭圆上求一点Q使△OPQ的面积最大．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆C的焦点在x轴上，b=4，可设椭圆的方程为，
又离心率，及a²=4²+c²，解得，
∴椭圆的方程为．
（Ⅱ）∵，∴可设与直线OP平行且与椭圆相切的直线方程为y=x+t．
联立，消去y得到关于x的方程41x²+50tx+25t²-400=0，（*）
∴△=0，即2500t²-4×41×（25t²-400）=0，化为 t²=41，解得．
∴切线方程为．
把代入（*）解得x=，代入y=x+t求得Q，或．
上面这两个点的坐标都满足是得△OPQ的面积最大．
分析：（Ⅰ）由题意可知：椭圆C的焦点在x轴上，b=4，据此可设出椭圆的此方程，再根据参数a、b、c的关系及其离心率即可得出；
（Ⅱ）求出与直线OP平行且与椭圆相切的直线方程及其切点即可．
点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切问题的解法是解题的关键．