Question

【题目】已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x﹣2．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）当x∈[ ， ]时，求函数f（x）的最大值，最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x﹣2=1+sin2x+cos2x﹣1= sin（2x+ ），

∴f（x）的最小正周期是 =π．

令﹣ +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，解得﹣ +kπ≤x≤ +kπ，

∴f（x）的单调增区间是[﹣ +kπ， +kπ]，k∈Z．

（2）解：∵x∈[ ， ]，∴2x+ ∈[ ， ]，

∴当2x+ = 时，f（x）取得最大值1，

当2x+ = 时，f（x）取得最小值﹣ ．

【解析】（1）化简得f（x）=1+sin2x+cos2x﹣1= sin（2x+ ），令﹣ +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ解得增区间；（2）根据x的范围求出2x+ 的范围，结合正弦函数的单调性求出f（x）的最值．
【考点精析】本题主要考查了三角函数的最值的相关知识点，需要掌握函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，才能正确解答此题．