Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）任意两相邻零点的距离为π，且其图象经过点M( 

π

3

，

1

2

)．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，f（A）=

1

2

，a=

3

，b+c=3（b＞c），求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据半个周期是π求出ω，把点的坐标代入并结合φ的范围，求出 φ 值，可得函数的解析式．
（Ⅱ）由f（A）=

1

2

 求出A，利用余弦定理求出bc 的值，代入三角形的面积公式计算．

解答：解：（Ⅰ）依题意有

T

2

=π，则ω=

2π

T

=1，
所以f（x）=sin（x+φ）．
将点M（

π

3

，

1

2

）代入得 sin（

π

3

+φ）=

1

2

，而0＜φ＜π，
∴

π

3

+φ=

5

6

π，∴φ=

π

2

，故f（x）=sin（x+

π

2

）=cosx．
（Ⅱ）由f（A）=

1

2

，得cosA=

1

2

．注意到0＜A＜π，所以，A=

π

3

．
根据余弦定理，得b²+c²-bc=3，即（b+c）²-3bc=3，bc=2．
所以，S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×sin

π

3

=

3

2

．

点评：本题考查求函数f（x）=sin（ωx+φ）的解析式的方法，已知三角函数值求角，余弦定理得应用．