Question

（14分）如图，直三棱柱中，AC=BC=1, AA₁=3, , D为CC₁上的点，二面角A-A₁B-D的余弦值为

(1 )求证：CD=2;

(2)求点A到平面A₁BD的距离.

Answer 1

解法一：（1）取AB中点E，A₁B₁中点G，连结EG，交A₁B于F，连结CE、C₁G，作DM⊥GE于M．

∵平面C₁GEC⊥平面A₁ABB₁，∴DM⊥平面A₁ABB₁．

作MN⊥A₁B于N，连结DN，则MN为DN在平面A₁ABB₁上的射影，则∠DNM为二面角B₁-A₁B-D的平面角．……………………………………………………………4分

∴cos∠DNM＝，DM＝C₁G＝，∴MN＝．

∵sin∠MFN＝＝，∴MF＝，∴DC＝2．…………………………8分

（2）在△A₁BD中，A₁D＝，BD＝，A₁B＝．

cos∠A₁DB＝＝－，sin∠A₁DB＝，

S△A₁BD＝A₁D·BDsin∠A₁DB＝

又S△A₁AB＝××3＝，点D到面A₁AB的距离DM＝CE＝，

设点A到平面A₁BD的距离为d，则S△A₁BD·d＝S△A₁AB×，∴d＝．

故点A到平面A₁BD的距离为．………………………………………………14分

 

解法二：

（1）分别以CA、CB、CC₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系C—xyz，则A(1，0，0)、B(0，1，0)、A₁(1，0，3)．设D(0，0，a)．

m＝(1，1，0)是面A₁AB的法向量，设n＝(x，y，z)是平面A₁BD的法向量．

＝(1，0，3－a)，＝(0，1，－a)，

由·n＝0，·n＝0，得x＋(3－a)z＝0，y－az＝0，

取x＝3－a，得y＝－a，z＝－1，得n＝(3－a，－a，－1)．……………………4分

由题设，|cosám，nñ|＝＝＝|－|＝，

解得a＝2，或a＝1，…………………………………………………………………6分

所以DC＝2或DC＝1．但当DC＝1时，显然二面角A-A₁B-D为锐角，故舍去．

综上，DC＝2  ………………………………………………………………………8分

（2）由（Ⅰ），n＝(1，－2，－1)为面A₁BD的法向量，又＝(0，0，3)，

所以点A到平面A₁BD的距离为d＝|\o(AA1,\s\up5(→________＝．…………………………14分