Question

（本小题满分13分）已知直线与函数的图象相切于点，且与函数的图象也相切.

求 （Ⅰ）求直线的方程及m的值；

（Ⅱ）设，若恒成立，求实数a的取值范围

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）

【解析】（Ⅰ）∵，直线l是函数f(x)=lnx的切线

∴其斜率为

∴直线的方程为y=x-1

又因为直线与g(x)的图像相切

有{→

（Ⅱ）方法一：

由恒成立，

得恒成立     ………………………………………………8分                      

设，则                  

当时，；当时，．

于是，在上单调递增，在上单调递减． ………………………11分    

故的最大值为  …………………………………………...12分                    

要使恒成立，只需    

∴   a的取值范围为 ………………………………………………………..13分

方法二：由（Ⅰ）知，

∴

………………………………………..8分

 

 

（i）若时，令，则；令，则，

故在上单调递减，在上单调递增

故在上的最小值为

要使解得恒成立，只需，得 …………………………10分

（ii）若，恒成立，在上单调递减，，

故不可能恒成立 ……………………………………………………………12分

综上所述，   即a的取值范围为…………………………………….13分