题目内容
已知O是△ABC的外心，且
+
=
，|
|=2
，P是线段AB上任一点（不含端点），实数λ，μ满足
=λ
+μ
，则
+
的最小值是（ ）
| OA |
| OB |
| OC |
| AB |
| 3 |
| CP |
| ||
|
|
| ||
|
|
| 1 |
| λ |
| 1 |
| μ |
分析：根据向量的加法法则和三角形外心的性质，证出四边形OACB是由两个正三角形拼成的菱形，由|
|=2
算出|
|=2且菱形的各边长都等于2．以O为原点，CO所在直线为x轴建立直角坐标系，可得A、B、C各点的坐标，设P（-1，y）可得
=（1，y），结合题中向量等式证出正数λ，μ满足
(λ+μ)=1，由此结合基本不等式求最值，即可算出
+
的最小值．
| AB |
| 3 |
| OC |
| CP |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| λ |
| 1 |
| μ |
解答：解：
∵O是△ABC的外心，且
+
=
，
∴以OA、OB为邻边的平行四边形OACB是菱形，且对角线OC等于边长
因此，在菱形OACB中，△ACO与△BCO都是等边三角形
∵|
|=2
，∴|
|=|
|=|
|=|
|=|
|=2
以O为原点，CO所在直线为x轴，建立直角坐标系如图所示
可得A（-1，
），B（-1，-
），C（-2，0）
∴
=（1，
），可得λ
=
（1，
）=（
，
），
同理得μ
=
（1，-
）=（
，-
）
因点P在直线AB：x=-1上，设P（-1，y），（-
＜y＜
），可得
=（1，y）
∵
=λ
+μ
=（
，
）+（
，-
）=（
(λ+μ)，
（λ-μ））
∴
(λ+μ)=1，可得λ+μ=2（λ＞0且μ＞0）
因此
+
=
(λ+μ)（
+
）=1+
（
+
）≥1+
×2
=2
当且仅当λ=μ=1时，
+
的最小值是2
故选：C
∵O是△ABC的外心，且| OA |
| OB |
| OC |
∴以OA、OB为邻边的平行四边形OACB是菱形，且对角线OC等于边长
因此，在菱形OACB中，△ACO与△BCO都是等边三角形
∵|
| AB |
| 3 |
| OC |
| OA |
| OB |
| CA |
| CB |
以O为原点，CO所在直线为x轴，建立直角坐标系如图所示
可得A（-1，
| 3 |
| 3 |
∴
| CA |
| 3 |
| ||
|
|
| λ |
| 2 |
| 3 |
| λ |
| 2 |
| ||
| 2 |
同理得μ
| ||
|
|
| μ |
| 2 |
| 3 |
| μ |
| 2 |
| ||
| 2 |
因点P在直线AB：x=-1上，设P（-1，y），（-
| 3 |
| 3 |
| CP |
∵
| CP |
| ||
|
|
| ||
|
|
| λ |
| 2 |
| ||
| 2 |
| μ |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴
| 1 |
| 2 |
因此
| 1 |
| λ |
| 1 |
| μ |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| λ |
| 1 |
| μ |
| 1 |
| 2 |
| μ |
| λ |
| λ |
| μ |
| 1 |
| 2 |
|
当且仅当λ=μ=1时，
| 1 |
| λ |
| 1 |
| μ |
故选：C
点评：本题给出特殊的三角形，在满足向量等式
=λ
+μ
的情况下求
+
的最小值．着重考查了向量的加法法则、三角形的外心、向量的坐标运算和运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．
| CP |
| ||
|
|
| ||
|
|
| 1 |
| λ |
| 1 |
| μ |
练习册系列答案
相关题目