题目内容
已知椭圆
：
的离心率为
，右焦点
到直线
的距离为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过椭圆右焦点F2斜率为
（
）的直线
与椭圆相交于
两点，
为椭圆的右顶点，直线
分别交直线
于点
，线段
的中点为
，记直线
的斜率为
，求证：
为定值．
【答案】
（1）
．（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）利用椭圆的几何性质，建立
的方程组即得；
（2）要证明
为定值，须从确定两直线斜率的表达式入手.根据题目的条件，应注意设出
的直线方程，并与椭圆方程联立，应用韦达定理，建立
与坐标的联系；确定
的坐标，将斜率
用坐标表示.得到，的关系即得证.
设过点
的直线方程为：
，
，点
，
将
代入椭圆
整理得：
应用韦达定理
；
根据直线
的方程为：
，直线
的方程为：
令
，得点
，
，点
；
由直线
的斜率为
，
将
代入上式得到，的关系即得证.
试题解析：（1）由题意得
，
， 2分
所以
，
，所求椭圆方程为． 4分
（2）设过点 的直线方程为：，
设点，点 5分
将直线
方程代入椭圆
整理得： 6分
因为点
在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，
恒成立，
且 7分
直线的方程为：，直线的方程为：
令，得点，，
所以点的坐标 9分
直线 的斜率为
11分
将代入上式得：
所以
为定值
13分
考点：椭圆的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理，直线的斜率与方程.
练习册系列答案
云南师大附小一线名师提优作业系列答案
冲刺100分单元优化练考卷系列答案
相关题目
已知椭圆E的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个公共点，若
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：