Question

已知抛物线y=-x²+2过其上一点P引抛物线的切线l，l与坐标轴在第一象限围成△AOB，求△AOB面积S的最小值，并求此时切线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：设切点P（x，-x²+2）（x＞0），由y=-x²+2得y'=-2x，知k_l=-2x，故l的方程为：y-（-x²+2）=-2x（x-x）．令y=0，得，令x=0，得y=x²+2，三角形的面积为，由此能求出l的方程．
解答：解：设切点P（x，-x²+2）（x＞0）
由y=-x²+2得y'=-2x，
∴k_l=-2x，
∴l的方程为：y-（-x²+2）=-2x（x-x）…（3分）
令y=0，得，令x=0，得y=x²+2，
三角形的面积为，x＞0…（6分）
令…（8分）
当； 
当
∴时，
，…（10分）
此时，
切点，
故l的方程为．…（12分）
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．