题目内容

椭圆 $数学公式$ 与直线y=x+1交于P，Q两点且 $数学公式$ ，a²+b²=2a²b²．求椭圆方程．

解：把直线y=x+1代入椭圆 $\text{[math]}$ ，
得b²x²+a²（x+1）²=a²b²，
∴（a²+b²）x²+2a²x+a²=a²b²，
∵a²+b²=2a²b²，
∴2a²b²x²+2a²x+a²=a²b²，
∴2b²x²+2x+1-b²=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则 $\text{[math]}$ ，k=1，
∴|PQ|= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
解得b²=2或 $\text{[math]}$ ．
当b²=2时，由a²+b²=2a²b²，解得a²= $\text{[math]}$ （舍）
当 $\text{[math]}$ 时，由a²+b²=2a²b²，解得a²=2．
∴椭圆方程为： $\text{[math]}$ ．
分析：把直线y=x+1代入椭圆 $\text{[math]}$ ，得b²x²+a²（x+1）²=a²b²，所以（a²+b²）x²+2a²x+a²=a²b²，由a²+b²=2a²b²，得2b²x²+2x+1-b²=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则 $\text{[math]}$ ，k=1，故|PQ|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此能求出椭圆方程．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．