Question

【题目】设函数．

（1）求该函数的单调区间；

（2）若当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞），单调减区间为（﹣2，0）；

（2）m＞2e2．

【解析】

（1）求出导函数f′（x），令导函数f′（x）＞0，求解即可求得单调增区间，令f′（x）＜0，求解即可求得单调减区间，从而求得答案；

（2）将恒成立问题转化成求函数f（x）最大值，利用导数求出函数f（x）的最大值，即可求得实数m的取值范围．

（1）∵，

∴f′（x）＝xexx2exexx（x+2），

令f′（x）＞0，解得x＞0或x＜﹣2，

令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜0，

∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞），单调减区间为（﹣2，0）；

（2）∵当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，

∴m＞f（x）max，

由（1）可知，f′（x）＝xexx2exexx（x+2），

令f′（x）＝0，可得x＝﹣2或x＝0，

∵f（﹣2），f（0）＝0，f（2）＝2e2，

∴f（x）max＝2e2，

∴m＞2e2，

∴实数m的取值范围为m＞2e2．