Question

如图，已知两个正方行ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。

（1）若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；
（2）用反证法证明：直线ME与BN 是两条异面直线。

Answer 1

解：（1）取CD的中点G，连接MG，NG。 设正方形ABCD，DCEF的边长为2， 则MG⊥CD，MG=2，NG= 因为平面ABCD⊥平面DCED， 所以MG⊥平面DCEF， 可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角。 因为MN=， 所以sin∠MNG= 则MN与平面DCEF所成角的正弦值为。
（2）假设直线ME与BN共面， 则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN 由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。 又AB//CD， 所以AB//平面DCEF。 EN为平面MBEN与平面DCEF的交线， 所以AB//EN。 又AB//CD//EF， 所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾， 故假设不成立。 所以ME与BN不共面，它们是异面直线。