Question

已知数列{a_n}是等差数列，且a₂=7，a₅=16，数列{b_n}是各项为正数的数列，且b₁=2，点（log₂b_n，log₂b_n+1）在直线y=x+1上．
（1）求{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项的和S_n．

Answer 1

分析：（1）由题设知

7=a1+d 16=a1+4d

，所以a_n=3n+1，再由点（log₂b_n，log₂b_n+1）在直线y=x+1上，知log₂b_n+1=log₂b_n+1，所以log2

bn+1

bn

=1，由此能导出b_n．
（2）由c_n=a_nb_n得c_n=（3n+1）2ⁿ，S_n=4×2+7×2²+…+（3n+1）2ⁿ，然后由错位相减法能求出S_n=4+（3n-2）2ⁿ⁺¹．

解答：解：（1）∵数列{a_n}是等差数列，且a₂=7，a₅=16，
∴

7=a1+d 16=a1+4d

，∴a₁=4，d=3，∴a_n=3n+1（3分）
又点（log₂b_n，log₂b_n+1）在直线y=x+1上，∴log₂b_n+1=log₂b_n+1，
∴log₂b_n+1-log₂b_n=1，log2

bn+1

bn

=1，b_n+1=2b_n，又b₁=2，∴b_n=2ⁿ（6分）
（2）由c_n=a_nb_n得c_n=（3n+1）2ⁿ（7分）
∴S_n=4×2+7×2²++（3n+1）2ⁿ①
2S_n=4×2²+7×2³++（3n+1）2ⁿ⁺¹②
①-②得-S_n=4×2+3×2²++3×2ⁿ-（3n+1）2ⁿ⁺¹（11分）
∴-S_n=8+3×2²（2^n-1-1）-（3n+1）2ⁿ⁺¹=-4-（3n-2）2ⁿ⁺¹
∴S_n=4+（3n-2）2ⁿ⁺¹（13分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意通项公式的求法和错位相减求和法的合理运用．