Question

已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B恰好是抛物线y=

1

4

x2的焦点，离心率等于

2

2

．直线l与椭圆Γ交于M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）椭圆Γ的右焦点是否可以为△BMN的重心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据椭圆C的一个顶点恰好是抛物线 y=

1

4

x2的焦点，结合离心率．易求出a，b的值，得到椭圆C的方程．
（II）对于存在性问题，可先假设存在，即对于存在性问题，可先假设存在，即假设x轴上存在满足条件的点C（x₀，0），再利用向量的坐标表示，求出

x 02

2

+

y 02

1

，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（I）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则由题意知b=1．…（2分）
∴

a2-b2 a2

=

2

2

．∴a²=2．…（4分）
∴椭圆C的方程为 

x2

2

+y2=1．…（5分）
（II）由（I）知，B（0，1），F（1，0）
假设存在直线l，使得F可以为△BMN的重心，
设A（x₀，y₀）为MN的中点，
则

BF

=(1，-1)．

FA

=(x 0-1，y 0)，
于是 由

BF

=2

FA

得：

1=2(x 0-1) -1=2y 0

从而x₀=

3

2

，y₀=-

1

2

∴

x 02

2

+

y 02

1

=

9

8

+

1

4

＞1
这表明点A在椭圆外，这与A为弦的中点矛盾，
∴不存在直线l，使得F为△BMN的重心．

点评：本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键．