Question

若二项式（1+2x）ⁿ的展开式中只有第七项的二项式系数最大，则n=________；此时2ⁿ⁺⁴除以7的余数是________．

Answer 1

12    2
分析：根据二项展开式的二项式系数的性质：展开式中中间项的二项式系数最大求出n的值；先将2^{n+4的底数写出7+1再}利用二项式定理将二项式展开求出2ⁿ⁺⁴除以7的余数．
解答：∵展开式中只有第七项的二项式系数最大
∴展开式共有13项，
则n=12；
2ⁿ⁺⁴=2（7+1）⁵=2[C₅⁰7⁵+C₅¹7⁴+…+C₅⁴•7+C₅⁵]，
∴2ⁿ⁺⁴除以7的余数是2．
故答案为：12；2
点评：解决一个数除以另一个数得到的余数问题，一般先将被除数写成底数用除数与小于除数的两个数的和表示，然后利用二项式定理将其展开即求出所求的余数．