Question

定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜

1

2

，则不等式f（log₂x）＞

log2x+1

2

的解集为

（0，2）

．

Answer 1

分析：设g（x）=f（x）-

1

2

x，由f′（x）＜

1

2

，得到g′（x）小于0，得到g（x）为减函数，将所求不等式变形后，利用g（x）为减函数求出x的范围，即为所求不等式的解集．

解答：解：设g（x）=f（x）-

1

2

x，
∵f′（x）＜

1

2

，
∴g′（x）=f′（x）-

1

2

＜0，
∴g（x）为减函数，又f（1）=1，
∴f（log₂x）＞

log x 2 +1

2

=

1

2

log₂x+

1

2

，
即g（log₂x）=f（log₂x）-

1

2

log₂x＞

1

2

=g（1）=f（1）-

1

2

=g（log₂2），
∴log₂x＜log₂2，又y=log₂x为底数是2的增函数，
∴0＜x＜2，
则不等式f（log₂x）＞

log2x+1

2

的解集为（0，2）．
故答案为：（0，2）

点评：此题考查了其他不等式的解法，涉及的知识有：利用导数研究函数的增减性，对数函数的单调性及特殊点，以及对数的运算性质，是一道综合性较强的试题．