题目内容

设x₁，x₂分别是函数f（x）=-2x³+3（1-2a）x²+12ax-1的极小值点和极大值点．已知 $数学公式$ =x₂，求a的值及函数的极值．

解：求导函数可得：f′（x）=-6x²+6（1-2a）x+12a，
∵x₁，x₂分别是函数的极小值点和极大值点
∴x₁+x₂=2a-1，x₁x₂=-2a
∵ $\text{[math]}$ =x₂，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴x₁=-1，
∴x₂=1，a= $\text{[math]}$
∴f（x）=-2x³+6x-1，f′（x）=-6（x+1）（x-1），
令f′（x）＞0可得-1＜x＜1，令f′（x）＜0可得x＜-1或x＞1，
∴函数在（-1，1）上单调增，在（-∞，-1），（1，+∞）上单调减
∴当x=-1时，函数取得极小值f（-1）=2-6-1=-5；当x=1时，函数取得极大值f（1）=-2+6-1=3．
分析：求导函数，利用x₁，x₂分别是函数的极小值点和极大值点，结合韦达定理及 $\text{[math]}$ =x₂，可得函数解析式，确定函数的单调性，进而可求函数的极值．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的解析式，解题的关键是根据函数的极值点确定函数的解析式．