Question

已知函数f(x)=

x

x2+1

，
（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；
（2）方程f(x)=

x+1

x

是否有根？如果有根x₀，请求出一个长度为

1

4

的区间（a，b），使x₀∈（a，b），如果没有，说明为什么？（注：区间（a，b）的长度=b-a）

Answer 1

分析：（1）利用f（-x）=-f（x）可判断函数为奇函数；
（2）由题意，只需判断函数的零点所在的区间长度为

1

4

即可．

解答：解：（1）函数的定义域为R．由于f(-x)=

-x

(-x)2+1

=-f(x)，∴函数为奇函数；
（2）由题意，

x

x2+1

=

x+1

x

，即x³+x+1=0
令g（x）=x³+x+1，则g（x）′=3x²+1≥0，即函数在R上单调增，又g(-

3

4

)＜0，g(-

1

2

)＞0，∴x0∈(-

3

4

，-

1

2

)

点评：本题考查函数的性质，考查函数零点区间的判断，属于基础题．