Question

已知{a_n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a₃a₆=55，a₂+a₇=16．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）等比数列{b_n}满足：b₁=a₁，b₂=a₂-1，若数列c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，d＞0，利用等差数列的通项表示已知，求解出d，a₁，结合等差数列的通项即可求解
（Ⅱ）由b₁=1，b₂=2可求bn=2n-1，cn=an•bn=(2n-1)•2n-1，结合数列的特点，考虑利用错位相减求解数列的和

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，则依题设d＞0    
由a₂+a₇=16．得2a₁+7d=16              ①---------------（1分）
由a₃a₆=55得（a₁+2d）（a₁+5d）=55         ②---------------（2分）
由①得2a₁=16-7d将其代入②得（16-3d）（16+3d）=220．
即256-9d²=220
∴d²=4，又d＞0
∴d=2，代入①得a₁=1，---------------（3分）
∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1．------------------（4分）
（Ⅱ）b₁=1，b₂=2
∴bn=2n-1
∴cn=an•bn=(2n-1)•2n-1，---------------（5分）
Sn=1•20+3•21+…+(2n-1)•2n-1
2Sn=1•21+3•22+…+(2n-1)•2n---------------（6分）
两式相减可得：-Sn=1•20+2•21+2•22+…+2•2n-1-(2n-1)•2n
=1+2×

2(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ
∴-Sn=1+

4(1-2n-1)

1-2

-(2n-1)•2n=1+2n+1-4-(2n-1)•2n=2ⁿ⁺¹-3-（2n-1）•2ⁿ---------------（7分）
∴Sn=3+(2n-1)•2n-2n+1=3+(2n-3)•2n---------------（8分）

点评：本题主要考查了利用首项及公差表示等差数列的项，解答此类问题的关键是熟练应用通项公式，错位相减求解数列的和是数列求和的难点．