Question

已知函数，
（Ⅰ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（III）当时，证明：

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ），使得当时有最小值3（III）见解析

本试题主要是考查了运用导数研究函数的最值的问题以及函数单调性的综合运用。
（1）要是函数在给定区间递减，则导函数在此区间上恒小于等于零，分离参数的思想得到参数的范围。
（2）假设存在实数a，那么根据对于参数的讨论得到最值。
解：（Ⅰ）在上恒成立，
令 ，有 得  得 .
方法二：在上恒成立，即在上恒成立，令，而在上单调递减，
\
（Ⅱ）假设存在实数，使（）有最小值3，
 
①当时，在上单调递减，，（舍去），
②当时，在上单调递减，在上单调递增
，，满足条件. 
③当时，在上单调递减，，（舍去），
综上，存在实数，使得当时有最小值3. 
（III）令，由（2）知，.令，，
当时，，在上单调递增 
∴    
即