Question

已知函数f（x）=sinxcosx-

1

2

cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）函数图象的对称轴方程；
（Ⅲ）求f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为

2

2

sin(2x-

π

4

)，由此求得函数的最小正周期．
（Ⅱ）令 2x-

π

4

=kπ-

π

2

，解得x的值，即可求得f（x）函数图象的对称轴方程．
（Ⅲ）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，求得x的范围，即可得到f（x）的单调增区间．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=sinxcosx-

1

2

cos2x=

1

2

(sin2x-cos2x)=

2

2

sin(2x-

π

4

)． …（3分）
 f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．…（5分）
（Ⅱ）令 2x-

π

4

=kπ-

π

2

，解得 x=

kπ

2

-

π

8

，k∈Z．
∴f（x）函数图象的对称轴方程是x=

kπ

2

-

π

8

，k∈Z．…（9分）
（Ⅲ）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，求得 kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z，
f（x）的单调增区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈Z．…（13分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，求三角函数的对称轴、单调区间，属于中档题．