题目内容

已知函数f(x)=
1
x2
+1．
（1）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性并证明；
（2）求f（x）在区间[1，3]上的最大值和最小值．
（1）函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．（2分）
证明如下：
设x1、x2是区间（0，+∞）上任意两个实数，且x1＜x2，则（1分）f（x1）-f（x2）=(
1
x12
+1)-(
1
x22
+1)=
(x1+x2)(x2-x1)
(x1x2)2
（3分）
∵x2＞x1＞0
∴x1+x2＞0、x2-x1＞0、（x1x2）2＞0（1分）
∴f（x1）-f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2）
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．（1分）
（2）由（1）知函数f（x）在区间[1，3]上是减函数，（1分）
所以当x=1时，取最大值，最大值为f（1）=2
当x=3时，取最小值，最小值为f(3)=
10
9
（3分）
练习册系列答案
相关题目
（1）、已知函数f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函数f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的图象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一个函数g（x）的图象，求g（x）的解析式．
已知函数f(x)=(1-
a
x
)ex，若同时满足条件：
①?x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
则实数a的取值范围是（　　）
已知函数f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函数在区间(a，a+
1
2
)上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求实数k的取值范围．
已知函数f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)与f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．
定义在D上的函数f（x）如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，1]上是以3为上界的有界函数，求m的取值范围．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网