Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，侧面PAD⊥平面AC，在△PAD中，E为AD中点，PA=PD．
（I）证明：PA⊥BE；
（II）若，求点D到平面PBC的距离．

Answer 1

（I）证明：∵底面ABCD为菱形，E为AD中点，
∴不妨设AB=2AE=2a
∵∠DAB=60°，∴BE²=AB²+AE²-2AB•AEcos60°=3a²，
∴BE=a，∴AB²=BE²+AE²，
∴BE⊥AD
∵侧面PAD⊥平面AC，BE?平面AC，侧面PAD∩平面AC=AD，
∴BE⊥侧面PAD
∵PA?侧面PAD
∴PA⊥BE；
（II）解：∵AD∥BC，∴点D到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离．
∵PA=PD，E为AD中点，∴PE⊥AD
∵BE⊥AD，BE∩PE=E
∴AD⊥平面PEB
∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB
∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEB
过E作EH⊥PB，垂足为H，则EH⊥平面PBC，故EH为所求
∴由等面积可得=．
分析：（I）先证明BE⊥AD，利用侧面PAD⊥平面AC，可得BE⊥侧面PAD，从而可得PA⊥BE；
（II）先证明点D到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离，平面PBC⊥平面PEB，再利用等面积，可求点D到平面PBC的距离．
点评：本题考查面面垂直的性质，考查线面垂直的判定，考查点到直线距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．