Question

已知三角形三边长度a、b、c都是整数，并且a≤b≤c，b＝k(k为某正整数)，求证：符合这样条件的三角形共有个．

Answer 1

答案：
解析：

导思：寻求这个论题的证明方法时，既要考虑a、b、c是整数，又是三角形三边的长度以及a≤b≤c，b＝k等已知条件，又要考虑满足这些条件的三角形的个数，即符合条件a、b、c的各种不同数值的组合总数．要证明当b＝k时各种组合总数为，就要探索符合条件的a、b、c的各种数值的组合方法．为此，可以通过k的某些特殊值来进行研究． 　　探究：首先设b＝k＝1，根据条件a≤b≤c，∴a必须是满足下面条件的整数：0＜a≤b或0＜a≤k即0＜a≤1，∴a＝1．当b＝k＝1，a＝1时，由于三角形任一边必小于其他两边的和，∴c必须是满足下面条件的整数：b≤c＜a＋b或1≤c＜2，∴c＝1．由此来看，当k＝1时，满足条件的a、b、c的数值只有a＝b＝c＝1的一种组合方法，也就是满足条件的三角形只有一个，这个结果与求证命题的结果：当k＝1时，＝1，一致，设k＝2，则b＝2，a满足0＜a≤b，即0＜a≤2的整数只有a＝1或a＝2，又∵b≤c＜a＋b，即2≤c＜a＋2，∴当a＝1，b＝k＝2时，c＝2；当a＝2，b＝k＝2时，c＝2或c＝3．综上当k＝2时，a、b、c各种数值有(1，2，2)，(2，2，2)，(2，2，3)，即共有三个三角形．这个结果与求证命题的结果也一致．从k＝1，k＝2的推理过程可以看出，b＝k的值确定后，由0＜a≤k，可得a＝1，2，…，k－1，k，再由b≤c＜a＋b得到a、b、c各种不同数值的组合方法，从而论证． 　　证明：当b＝k(k为正整数)时，由已知0＜a≤b且a为整数，∴a＝1，2，3，…，k－1，k．又∵c为整数，b≤c，三角形的任意一条边必小于其他两边之和，∴b≤c＜a＋b，即k≤c＜a＋k，由此可看出当b＝k时，c的值分别为 　　∴当b＝k时，符合条件的三角形兰有1＋2＋…＋(k－1)＋k＝个．