Question

【题目】已知抛物线的焦点为F，经过点F的直线与抛物线C交于不同的两点A，B，的最小值为4.

（1）求抛物线C的方程；

（2）已知P，Q是抛物线C上不同的两点，若直线恰好垂直平分线段PQ，求实数k 的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）设，，过焦点的直线方程，代入抛物线方程，用焦半径公式表示出焦点弦长表示为的函数后可得最小值，由最小值为4可得；

（2）由垂直可设直线方程为，代入抛物线方程有，由韦达定理求出弦的中点坐标，代入直线方程，得的关系，再代入可求得的范围．

解：（1）设过焦点的直线与抛物线分别交于点，，

与抛物线方程联立得，则，

，等号成立时，，

即，故抛物线；

（2）由题知，故可设直线方程为，

与抛物线的方程联立得，

则即①，

又，

设中点为，则，

，

又点在直线上，故，

则，

代入①式得，即，

解得.