Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、P分别是BC、A₁D₁的中点，M、N分别是AE、CD₁的中点，AD=AA₁=a，AB=2a，
（Ⅰ）求证：MN∥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）求二面角P-AE-D的大小；
（Ⅲ）求三棱锥P-DEN的体积．

Answer 1

分析：法一、（1）要证明线面平行，关键是在平面内找到一条可能与已知直线平行的直线，观察到平面ADD₁A₁中三条已知直线与PC都不平行，故我们要考虑在平面ADD₁A₁中做一条与PC可能平行直线辅助线，然后再进行证明．
（2）要求二面角的余弦，要先构造出二面角的平面角，然后利用解三角形的方法，求出这个平面角的余弦值，进而给出二面角的余弦值．
（3）要求三棱锥的体积，只要求出底面的面积，及对应的高代入棱锥体积公式，即可求解．
法二、构造空间直角坐标系，求出各点的坐标，进行求出相应直线的方向向量和平面的法向量，利用向量法进行求解．

解答：解：法一：（Ⅰ）证明：取CD的中点K，连接MK，NK
∵M，N，K分别为AK，CD₁，CD的中点
∵MK∥AD，NK∥DD₁
∴MK∥面ADD₁A₁，NK∥面ADD₁A₁，又MK与NK交于K
∴面MNK∥面ADD₁A₁，
∴MN∥面ADD₁A₁
（Ⅱ）设F为AD的中点
∵P为A₁D₁的中点∴PF∥D₁D∴PF⊥面ABCD
作FH⊥AE，交AE于H，连接PH，则由三垂线定理得AE⊥PH
从而∠PHF为二面角P-AE-D的平面角．
在Rt△AEF中，AF=

a

2

，EF=2a，AE=

17

2

a，
从而FH=

AF•EF

AE

=

a 2 •2a

17 2 a

=

2a

17

在Rt△PFH中，tan∠PFH=

PF

FH

=

DD1

FH

=

17

2

故：二面角P-AE-D的大小为arctan

17

2

（Ⅲ）S△NEP=

1

2

S矩形ECD1P=

1

4

BC•CD1=

1

4

•a•

a2+4a2

=

5

4

a2
作DQ⊥CD₁，交CD₁于Q，由A₁D₁⊥面CDD₁C₁得A₁C₁⊥DQ
∴DQ⊥面BCD₁A₁
∴在Rt△CDD₁中，DQ=

CD•DD1

CD1

=

2a•a

5 a

=

2

5

a
∴VP-DEN=VD-ENP=

1

3

S△NEP•DQ=

1

3

5

4

a2•

2

5

a=

1

6

a3

方法二：以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系，

则A（a，0，0），B（a，2a，0），C（0，2a，0），A₁（a，0，a），D₁（0，0，a）
∵E，P，M，N分别是BC，A₁D₁，AE，CD₁的中点
∴E(

a

2

，2a，0)，P(

a

2

，0，a)，M(

3a

4

，a，0)，N(0，a，

a

2

)，
（Ⅰ）

MN

=(-

3

4

a，0，

a

2

)
取

n

=(0，1，0)，显然

n

⊥面ADD₁A₁

MN

•

n

=0，
∴

MN

⊥

n

又MN∉面ADD₁A₁
∴MN∥面ADD₁A₁

（Ⅱ）过P作PH⊥AE，交AE于H，取AD的中点F，则F(

a

2

，0，0)
∵设H（x，y，0），则

HP

=(

a

2

-x，-y，a)，

HF

=(

a

2

-x，-y，0)
又

AE

=(-

a

2

，2a，0)
由

AP

•

AE

=0，及H在直线AE上，可得：

- a2 4 + a 2 x-2ay=0 4x+y=4a

解得x=

33

34

a，y=

2

17

a
∴

HP

=(-

8a

17

，-

2a

17

，a)，

HF

=(-

8a

17

，-

2a

17

，0)
∴

HF

•

AE

=0即

HF

⊥

AE

∴

HP

与

HF

所夹的角等于二面角P-AE-D的大小cos?

HP

，

HF

＞=

HP • HF

| HP |•| HF |

=

2

21

故：二面角P-AE-D的大小为arccos

2 21

21

（Ⅲ）设

n1

=(x1，y1，z1)为平面DEN的法向量，
则

n1

⊥

DE

，

n1

⊥

DN

又

DE

=(

a

2

，2a，0)，

DN

=(0，a，

a

2

)，

DP

=(

a

2

，0，a)
∴

a 2 x1+2ay1=0 2y1+ a 2 z1=0

即

x1=-4y1 z1=-2y1

∴可取

n1

=(4，-1，2)
∴P点到平面DEN的距离为d=

| DP • n1 |

| n1 |

=

|2a+2a|

16+1+4

=

4a

21

∵cos?

DE

，

DN

＞=

DE • DN

| DE |•| DN |

=

8

85

，sin?

DE

，

DN

＞=

21

85

∴S△DEN=

1

2

|

DE

|•|

DN

|•sin?

DE

，

DN

＞=

21

8

a2
∴VP-DEN=

1

3

S△DEN•d=

1

3

×

21

8

a2×

4a

21

=

a3

6

点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．
求二面角，关键是构造出二面角的平面角，常用的方法有利用三垂线定理和通过求法向量的夹角，然后再将其转化为二面角的平面角．本题也可以用空间向量来解决，其步骤是：建立空间直角坐标系?明确相关点的坐标?明确相关向量的坐标?通过空间向量的坐标运算求解．