Question

设函数f(x)=x²+bx+c(a,b,c∈R)，函数f(x)的导数记为f′(x).

(1)若a=f′(2),b=f′(1),c=f′(0)，求a,b,c的值；

(2)在(1)的条件下，有F(n)=，求证：F(1)+F(2)+F(3)+…+F(n)＜(n∈N^*)；

(3)设关于x的方程f′(x)=0的两个实数根为a,β，且1＜α＜β＜2，试问：是否存在正整数n₀，使得|f′(n₀)|≤？请说明理由.

Answer 1

答案：(1)解：由题意有a=f′(2)=2²+2a+b，b=f′(1)=1²+a+b，c=f′(0)=b.解得a=-1,b=-3,c=-3.3分

(2)证明：由已知有f′(n)=n²-n-3，F(n)=.

当n=1时，F(1)=-1＜；当n=2时，F(1)+F(2)=-1+1=0＜；当n≥3时，F(n)=＜=.

∴F(1)+F(2)+F(3)+…+F(n)＜F(1)+F(2)+×［(1)+()+()+…+()］=×(1+)=(1+)()=(++)＜.

∴F(1)+F(2)+F(3)+…+F(n)＜(n∈N^*).                                         

(3)解：∵f′(x)=(x-α)(x-β),

∴f′(1)·f′(2)=(1-α)(1-β)(2-α)(2-β)

=(α-1)(2-α)(β-1)(2-β)≤［］²·［］²=.

∴0＜f′(1)≤或0＜f′(2)≤.

故存在n₀=1或n₀=2，使得|f′(n₀)|≤.