Question

如图，第一个图是正三角形，将此正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得第2个图，将第2个图中的每一条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得第3个图，如此重复操作至第n个图，用a_n表示第n个图形的边数，则数列a_n的前n项和S_n等于

 

．

Answer 1

分析：根据图形得到，a₁=3，a₂=12，a₃=48，由题意知：每一条边经一次变化后总变成四条边，即

an

an-1

=4(n＞2)，由等比数列的定义知：a_n=3×4^n-1，于是根据等比数列前n项和公式即可求解

解答：解：∵a₁=3，a₂=12，a₃=48
由题意知：每一条边经一次变化后总变成四条边，即

an

an-1

=4(n＞2)，
由等比数列的定义知：a_n=3×4^n-1
∴S_n=

3×(1-4n)

1-4

=4ⁿ-1
故答案为：4ⁿ-1

点评：本题考查了等比数列的前n项和，还考查对图形的阅读能力，属于基础题．