Question

已知函数f（x）=（x²+ax+2）e^x，（x，a∈R）．
（1）当a=0时，求函数f （x） 的图象在点A （1，f （1））处的切线方程；
（2）若f （x） 在R上单调，求a的取值范围；
（3）当a=

5

2

时，求函数f（x）的极小值．

Answer 1

分析：（1）先求出函数f（x）的导函数，求出切点坐标，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式即可；
（2）若f（x）在R上单调，则f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+2]＞0恒成立，考虑到e^x＞0恒成立且x²系数为正，从而等价x²+（a+2）x+a+2≥0恒成立，利用判别式建立关系式，即可求出所求；
（3）先求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值即可．

解答：解：f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+2]…（1分）
（1）当a=0时，f（x）=（x²+2）e^x，f'（x）=e^x（x²+2x+2），…（2分）f（1）=3e，f'（1）=5e，
∴函数f（x）的图象在点A （1，f （1）） 处的切线方程为y-3e=5e （x-1），
即5ex-y-2e=0    …（4分）
（2）f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+2]，
考虑到e^x＞0恒成立且x²系数为正，
∴f （x） 在R上单调等价于 x²+（a+2）x+a+2≥0恒成立   …．（6分）
∴（a+2）²-4（a+2）≤0，
∴-2≤a≤2，即a 的取值范围是[-2，2]，…（8分）
（若得a的取值范围是（-2，2），可扣1分）
（3）当a=

5

2

时，f(x)=(x2+

5

2

x+2)ex，f′(x)=ex(x2+

9

2

x+

9

2

)
…（10分）
令f'（x）=0，得x=-3，或x=-

3

2

令f'（x）＞0Z，得x＜-3或x＞-

3

2

，
令f'（x）＜0Z，得-3＜x＜-

3

2

…（12分）
x，f'（x），f（x）的变化情况如下表

x	（-∞，-3）	-3	(-3，- 3 2 )	- 3 2	(- 3 2 ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以，函数f（x）的极小值为f（-

3

2

）=

1

2

e-

3

2

…（14分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的极值和恒成立问题，同时考查了计算能力、转化与划归的思想，属于综合题．