Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），满足f（1）=0，且a²+[f（m₁）+f（m₂）]•a+f（m₁）•f（m₂）=0．
（1）求证a＞0，c＜0且b≥0；
（2）求证f（x）的图象被x轴所截得的线段长的取值范围是[2，3）；问能否得出f（m₁+3），f（m₂+3）中至少有一个为正数，请证明你的结论．

Answer 1

证明：（1）∵函数f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），满足f（1）=0，
∴a+b+c=0．（1分）
若a≤0，∵a＞b＞c∴b＜0，c＜0，
则有a+b+c＜0，这与a+b+c=0矛盾，∴a＞0成立．（2分）
若c≥0，则有b＞0，a＞0，此时a+b+c＞0，这与a+b+c=0矛盾，
∴c＜0成立．（3分）
∵a²+[f（m₁）+f（m₂）]•a+f（m₁）•f（m₂）=0
∴[a+f（m₁）]•[a+f（m₂）]=0，∴m₁，m₂是方程f（x）=-a的两根
∴△=b²-4a（a+c）=b（b+4a）=b（3a-c）≥0
而a＞0，c＜0∴3a-c＞0，
∴b≥0．（4分）
（2）f（1）=0，∴1是方程f（x）=0的一个根，
设x₁=1，另一个根为x₂，有，．
∵b=-a-c≥0，a＞0，∴；
又a＞0，a＞-a-c＞c，∴-2＜≤-1，
∴＜3，即2≤|x₁-x|＜3，
故f（x）的图象被x轴所截得的线段长的取值范围是[2，3）．（8分）
设
由已知f（m₁）=-a或f（m₂）=-a，不妨设f（m₁）=-a
则＜0，∴＜m₁＜1
∴m₁+3＞+3＞1，
∴f（m₁+3）＞f（1）＞0，
同理当f（m₂）=-a，有f（m₂+3）＞0，
所以f（m₁+3），f（m₂+3）中至少有一个为正数．（12分）
分析：（1）由习惯性左中函数f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），满足f（1）=0，即a+b+c=0，我们可用反证法来证明a＞0，c＜0且b≥0；
（2）由f（1）=0，我们可得（1，0）是f（x）的图象与x轴的一个交点，我们由韦达定理及（1）中结论，确定出另一个根的范围，进而得到答案；
点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，及二次方程与二次函数的关系是解答本题的关键．