Question

已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点.
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）抛物线的焦点为，准线方程为，……1分
∴      ①                 …………………2分
又椭圆截抛物线的准线所得弦长为， 
∴ 得上交点为，∴    ② ……………3分
由①代入②得，解得或（舍去），
从而                          ……………5分
∴  该椭圆的方程为                   …………6分
（2）∵ 倾斜角为的直线过点，
∴ 直线的方程为，即，  …………7分
由（1）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称，                             …………8分
则得  解得，即 ……10分  
又满足，故点在抛物线上。     ……………11分
所以抛物线上存在一点，
使得与关于直线对称。

略